Kümeler Kuramı Nedir?

Matematikte kümelerin özelliklerini ve kümelerle ilgili işlemleri konu edi­nen kuram.

Georg Cantor’un 1882’de getirdiği kü­me kavramı hâlâ tartışılmaktadır. Kü­meler kuramı günümüzde çoğu kez matematik bilgisinin yenilenmesiyle ve modern matematikle özdeşleştirilmektedir.

Aslında, tarihsel sıraya göre, temel­de farklı olan iki şeyi (kümeler kura­mı ve dili) birbirinden ayırt etmek ge­rekir: Cantor’un amacı en az sayıda kavramdan hareketle özellikle gerçek sayıların ya da doğal tamsayıların ta­nımını yapmak için, matematiği bir bütün haline getirmekti. Böylelikle kü­melerin diline, yani anlatım yoluna ulaşılır. Küme kavramı ilkel ya da ilk­tir; bu anlamda kümeleri, kısır döngü­ye düşmeksizin bir başka kavram yar­dımıyla tanımlamak olanaksızdır. Sez­gisel olarak küme, ortak bir özelliği olan bir nesneler topluluğudur, bu ise güçlüğü topluluğun tanımlanmasına yöneltir. Bir başka birincil kavram olan bağıntı kavramına da başvuru­lur. Özellikle de “eşitlik” ve “öğelik” (aidiyet) kavramları benimsenir. Bir x kümesi, bir E kümesine aitse, “x. E’ nin bir öğesidir” denir ve xeE ola­rak gösterilir. E ve F kümelerinin öğe­leri aynıysa (ve yalnız bu durumday­sa) E ve F kümeleri birbirine eşittir: Bu da E = F biçiminde gösterilir. Hiç­bir öğesi olmayan bir ve yalnız bir küme bulunur; buna boş küme denir ve 0  ile gösterilirBir tek x öğesi bulu­nan bir kümeye tekli küme denir ve xj olarak belirtilir. Öğeleri x ve y olan bir küme |x,y| biçiminde yazılır: x = y ise, jx| tekli kümesi bulunur; karşıt durumda, böyle bir kümeye, bir çift küme adı veriir. X ve y’den olu­şan  |x|, jx, y} | kümesine ikili denir ve daha basit olarak (x,y) ile gösteri­lir. |x, y]kümesindekinin tersine x ve y kümeleri bu kez bakışımsız roller üst­lenirler; (x,y,z) üçlüsü de aynı biçim­de tanımlanır: Bu, x’ten ve (y,z) İkili­sinden oluşan bir ikilidir. Böylece (x,y,z) = [x, (y,z)] olur. Bir F kümesi­nin her bir öğesi bir E kümesinin öğe­siyse ya da F, E’nin bir parçasıysa,bu F <= E biçiminde gösterilir. Bir E kü­mesinin bölümleri, / (E) ile gösterilen yeni bir küme oluşturur. Özellikle, boş küme ve E kümesi, E’nin sırasıyla boş ve dolu bölüm denen parçalarıdır. E ve F kümelerinden başlayarak, basit işlemler yardımıyla başka kümeler ya­pılabilir:

Hem E, hem F’nin öğelerinden olu­şan ve E n F ile gösterilen, E ile F’nin arakesiti (Bkz. Çiz.);

Ya E, ya F, ya da her iki kümenin öğelerinden oluşan ve E U F ile göste­rilen, E ve F’nin birleşimi (Bkz. Çiz.); —(x,y) İkililerinden oluşan ve ExF ile gösterilen, E ve F’nin kartezyen çarpı­mı (buradaki x,E kümesine, y de F kümesine aittir).

Daha genel olarak bir kümenin öğele­rinin hepsi ikiliyse, bu küme bir çizgedir (grafik). Böylece, bir ExF kartez­yen çarpımının her parçası bir çizgedir. Küme kavramı fonksiyon kavra­mına belirgin bir anlam verilmesini sağlar. Sezgisel olarak, bir fonksiyon, her gerçek sayıya bir ve yalnız bir gerçek sayıyı denk düşürür. Açık bi­çimde, E ve F kümeler olsun, G de ExF içinde bir çizge olsun: E’nin her x öğesi için, (x,y) İkilisi G’ye ait ola­cak biçimde,F’nin bir y öğesi varsa, f = (E,F,G) üçlüsü bir fonksiyondur de­nir. Ayrıca, bu özellik E’nin her x öğe­si için geçerliyse, f,F içindeki E’nin G eğrisinde bir gönderimidir (uygula­ma). Bu koşullarda. F’nin her y öğesi için E’nin (x,y) G’ye ait olacak biçim­de bir ve yalnız bir x öğesi varsa, f, E’nin F üstündeki bir bijeksiyonudur (eşlev).E’nin F üstünde bir bijeksiyonu bulu­nacak biçimdeki E ve F kümelerine eşgüçlü denir; bu durumda F’nin de E üstünde bir bijeksiyonu vardır. Her küme kendisiyle eşgüçlüdür. Üçüncü bir kümeyle eşgüçle olan iki küme kendi aralarında da eşgüçlüdür. Kü­me kavramının yararlarından biri de, doğal tamsayıların kesin bir tanımını sağlamasıdır. Her E kümesi, E’nin kar­dinali (asalı) adı verilen ve Card (E) ile gösterilen, iki eşgüçlü kümenin kardi­nali aynı olacak biçimde, yeni bir kü­meyle birleştirilebilir: Bir kümenin do­lu bölümünün dışında eşgüçlü olduğu hiçbir parçası yoksa, bu kümeye son­lu adı verilir. Sonlu bir kümenin kar­dinali, bu kümenin öğelerinin sayısı­dır. Dolayısıyla, doğal tamsayılar, sonlu kümelerin kardinalleri gibi gö­rünmektedirler. Böylelikle, boş küme­nin kardinali 0 olur; her tekkümenin kardinali de l’dir, vb.Kümelerin dili, matematiğin bütün dallarına yayılmıştır. Ancak Cantor’ un önceden sezdiği gibi, kesin kural­ların olmaması birtakım aykırılıklara yol açtı. Nitekim, Bertrand Russell “kendilerinin öğesi olmayan kümele­rin kümelerinden” söz etmenin çeliş­kili olduğunu gösterdi. Bu nedenle, kü­meleri matematiksel nesneler arasın­dan ayırt etmeyi sağlayan ölçütleri açığa çıkarmak gerekir, bir başka de­yişle, herhangi bir şey bir küme ola­rak göz önüne alınmamalıdır. Bu da, kümeler kuramının biraksiyomlar (be­litler) sistemi üstüne kurulması anla­mına gelir. Böyle bir gelişme geomet­ride doğal sayılır, çünkü daha önce, Eukleides döneminde bu işlem gerçek­leştirilmiştir.

Ernst Zermelo çelişkileri ortadan kal­dırmak amacıyla, Cantor’un öngördü­ğü kuralları sınırlayarak ve bunları,tüm geçerliliklerini korumak için, ye­terli büyüklükte alarak 1908’de ilk ak­siyom sistemini önerdi. Böylelikle ku­rulan aksiyomları Abraham Fraenkel 1922’de tamamladı ve bu aksiyomlar Zermelo-Fraenkel adı verilen sistemi oluşturdular.

En az teknik olan aksiyomlar arasın­da şunlar sayılabilir:

Bir küme, öğeleriyle belirlenir;

Hiçbir öğesi bulunmayan bir küme de vardır;

Her x kümesi için, öğeleri x’inkilerle aynı olan bir y kümesi bulu­nur;

Her x kümesi için, öğeleri x’in par­çaları olan bir y kümesi bulunur;

Her a kümesi için, a içinde a’mn boş olmayan parçalarının oluşturduğu kü­menin, a’nın boş olmayan her x par­çası için f (x), x’e ait olacak biçimde bir f uygulaması vardır.Janos Von Neumann, Cantor’un belirt­miş olduğu bir düşünceyi ele alarak, küme kavramını genelleştiren sınıf kavramını getirdi; bu kez, her mate­matiksel nesne bir sınıf olarak görül­meye başladı. Sezgisel olarak bir sı­nıf, belirli bir bağıntıyı doğrulayan kü­meler topluluğudur. Von Neumann’ın aksiyomlarının bir değişkesini Paul Bernays ile Kurt Gödel bulmuşlardır (1937-1940 arasında). Gödel-Bernays sistemi diye adlandırılan bu sistemin 1945’ten beri sürekli gelişme halinde bulunan kategoriler kuramına bir çer­çeve oluşturma üstünlüğü vardır. Aksiyomlar seçildikten sonra kümeler kuramının konusu, aksiyomların ba­ğımsızlığım, özellikle çelişki bulunma­masını aramaktır. Bu araştırma, salt matematikten değil, matematiksel mantıktan kaynaklanır.